第十四章 利率期權
第14章 利率期權 【學習目標】通過本章的學習要掌握利率期權的基本含義，利率期權市場的基本情況 ，主要的利率期權，包括利率期貨期權，場外市場期權，以及內(nèi)嵌在債務工具中期權。 還要掌握為利率期權定價的解析工具。期權調(diào)整差額(Option Adjusted Spread, OAS)的含義。要理解利率期權定價的核心——布萊克模型。 第一節(jié) 利率期權市場 我們可以將利率期權分成三類：交易所交易的，場外市場交易的和內(nèi)嵌在金融工具里 的利率期權。 一、交易所交易的利率期權 交易所交易的利率期權主要是指利率期貨期權，此外還有一些債券期權，在第13章， 我們討論了期貨期權定價的一般情況，在這一章，我們將通過利率期貨期權更加深入地 討論這一問題。 主要利率期貨期權是在CBT(Chicago Board of Trade),CMT(Chicago Mercantile Exchange)和LIFFE(London International Financial Futures Exchange)交易的。 二、場外市場交易的利率期權 場外市場上的利率期權不像內(nèi)嵌在其他金融工具中的利率期權，它是單獨直接交易的 ，它也是利率期權發(fā)展和創(chuàng)新的根源。因為場外交易市場幾乎完全是私下進行的，所以 沒有關于市場規(guī)模和交易活動的完整、精確的統(tǒng)計數(shù)據(jù)。不過，我們有可能確定其市場 規(guī)模的下限，因為我們可以利用有兩個數(shù)據(jù)來源，一個是國際互換和衍生工具協(xié)會（In ternational Swaps and Derivatives Association，ISDA），ISDA會定期調(diào)查其成員的交易規(guī)模和營業(yè)資產(chǎn)；還有一個是美國 貨幣審計辦公室（Office of the Comptroller），它要求商業(yè)銀行提交衍生產(chǎn)品交易的報告。 在場外交易市場上，名義本金的概念是很關鍵的。名義本金可以通過與期貨和期貨期 權市場的類比來理解。舉個例子，一份歐元期貨合約（或一份歐元期貨期權合約）的本 金是$1,000,000，不過這一百萬美元并不是合約中實際的投資或風險暴露頭寸，這一百 萬美元類似于OTC上的名義本金。名義本金是用來計算利息額的本金數(shù)量，它既不是實際 的風險暴露，也不進行實際的支付，只是計算利息流的基礎。 根據(jù)ISDA的報告，到1997年，場外市場上交易的利率期權的名義本金已超過5萬億美 元，在過去10年每年以接近35％的速度增長。ISDA的數(shù)據(jù)在一定程度上低估了場外市場 的發(fā)展，因為它只包括101個會員的數(shù)據(jù)，不過僅此數(shù)據(jù)就表明場外市場的發(fā)展遠遠超過 了交易所市場的發(fā)展。 而貨幣控制辦公室（OCC）的報告顯示，475家商業(yè)銀行和信托公司在交易所和場外市 場上均有大量的衍生證券頭寸，它們的報告沒有將利率期權和其他衍生工具區(qū)分開來， 但可以斷言銀行的期權頭寸主要是利率期權頭寸。1997年，這些銀行持有的交易所期權 頭寸為1.363萬億美元，場外市場期權頭寸為4.598萬億美元，兩者都是用名義本金來衡 量的。貨幣控制辦公室（OCC）的報告還顯示，場外市場交易的期權和交易所交易的期權 的比例約為3比1。 這些數(shù)據(jù)和ISDA報告的數(shù)據(jù)不是獨立的，每份期權合約都有買方和賣方，因此可能銀 行的一些期權頭寸在ISDA的調(diào)查中已經(jīng)包括了，而且一些銀行的衍生證券部也是ISDA的 會員，這些銀行的期權頭寸就可能被計算兩次，這說明統(tǒng)計場外市場交易的利率期權是 很困難的。不過，至少有一點是清楚的，利率期權的市場規(guī)模巨大，名義本金的頭寸以 萬億計。 三、內(nèi)嵌的利率期權 除了在交易所和場外市場直接交易的利率期權，有大量的利率期權是內(nèi)嵌在其他證券 之中的。這些利率期權一般是內(nèi)嵌在可贖回的公司息票債券和抵押債務中。 在美國，長期公司債券一般是息票債券，而且是可贖回的。贖回條款允許發(fā)行公司在 特定的時間以特定的價格從投資者手中買回債券，即發(fā)行公司擁有一個內(nèi)嵌在債券合約 中的期權。這個贖回條款在本質(zhì)上是一個利率期權，因為贖回條款的價值依賴于債券的 價值，而債券的價值依賴于利率。幾年前發(fā)行的美國國庫券也有贖回條款，但現(xiàn)在沒有 了。廣泛存在的贖回條款說明內(nèi)嵌的利率期權大量存在，這些內(nèi)嵌的利率期權對債券的 市場價值有顯著影響，我們將看到，債券的期權特征會影響債券價格對利率變動的反應 方式。 另外一類主要的內(nèi)嵌的利率期權存在于抵押的不動產(chǎn)之中。幾乎所有的不動產(chǎn)抵押都 含有提前償還條款，它允許借款人在抵押到期前提前償還負債，這個提前償還條款是貸 款人提供給借款人的。不動產(chǎn)抵押貸款的余額以萬億美元計，多數(shù)抵押貸款會在到期前 提前償還，這意味著提前償還期權一般會被執(zhí)行。 在美國，住房抵押貸款一般是抵押銀行用來形成抵押擔保證券的基礎。在本質(zhì)上，抵 押擔保證券（Mortgage-Backed Security, MBS）是一個組合或不動產(chǎn)抵押池。MBS的投資者投資于由抵押貸款構成的組合，并按事 先確定的比例參與組合現(xiàn)金流的分配。一旦抵押貸款被納入資產(chǎn)池，政府抵押協(xié)會(Gov ernment National Mortgage Association, GNMA)或聯(lián)邦抵押協(xié)會( Federal National Mortgage Association, FNMA )會提供違約風險的擔保。因此MBS的收益率在考慮提前償還的期權后略高于國庫券的收 益率。 在組成MBS的抵押貸款中，每期都有一些被提前償還。提前償還住房抵押貸款的原因 主要有兩個：首先是一些人賣掉了住房，其次是為了利用更有利的再融資利率。從MBS的 投資者角度看，第二個原因更重要。 再融資一般會在現(xiàn)在的市場利率大大低于抵押貸款的合同利率的時候發(fā)生。當MBS中 的抵押貸款出現(xiàn)提前償還的時候，MBS的投資者收到提前償還款項的一部分。從MBS投資 者角度看，本金的償還是不受歡迎的，因為這主要出現(xiàn)在利率很低的時候，MBS的投資者 將面臨以一個更低的利率投資。 提前償還的定價是復雜的，因為提前償還不但依賴于利率的變動，還依賴于人口統(tǒng)計 學。一些抵押貸款的提前償還率更高，是因為借款人更傾向于賣掉房子，這些人的流動 性和跳槽比例都比較高。因此住房抵押貸款中內(nèi)嵌的提前償還期權很復雜，而且對理解 MBS的定價非常重要。MBS專家要花費大量的時間和精力，考慮提前償還。 除了住房抵押貸款，另外一類MBS是證券化的抵押支持證券(Collateralized Mortgage Obligation, CMO)。CMO是通過將抵押貸款的現(xiàn)金流分解后從新打包以滿足不同投資者的需求。這個打 包稱為部分( Tranche )，不同部分的息票率和到期日不同，它們被出售給不同的投資者。此外，抵押貸款也可 以剝離成利息和本金量部分，在一個典型的抵押貸款中，每個月的償還額中的一部分是 償還當月的利息，剩下的部分是償還本金。一個利率( Interest only ) MBS僅由抵押貸款的利息償還部分組成，類似的，本金( Principal only )MBS僅由本金償還組成。 對于可贖回的債券和抵押貸款而言，理解它的價值和投資特征依賴于理解其中內(nèi)嵌的 期權帶來的影響。一般將含有內(nèi)嵌期權的金融工具價格分解成兩部分，主體價值和期權 價值，主體價值是不含期權的同類工具的價值。 含內(nèi)嵌期權的金融工具的價值＝主體價值±期權價值 內(nèi)嵌期權既可能增加主體的價值，也有可能降低主體的價值。舉個例子，可贖回債券 中的贖回條款是發(fā)行者擁有的一個看漲期權，從投資的角度看，它降低了債券的價值。 可在抵押貸款中，借款人擁有一個提前償還的期權。在這兩種主要的內(nèi)嵌期權中，借款 人擁有期權，因此期權降低了資產(chǎn)的價值，提高了資產(chǎn)的收益率。 第二節(jié) 利率期權的定價 一、經(jīng)過期權調(diào)整的價差 現(xiàn)在我們開始討論利率期權的定價，利率期權定價的關鍵是利率期限結構。在討論定 價模型之前，我們還需要了解經(jīng)過期權調(diào)整的價差（Option-Adjusted Spread，OAS），OAS度量的是考慮了期權以后，以上內(nèi)嵌了期權的金融工具和國債收益 率的差值。 為了計算某個金融工具的OAS，首先利用政府長期零息票收益率曲線進行估值，并將 該值輸入到新的定價模型中去。將模型給出的該金融工具的價格與它在市場中的價格進 行比較。運用一系列迭代過程以確定平行漂移到所輸入的國債收益率曲線的平行漂移量 ，該量將使得模型的價格等于市場的價格。這個平行漂移量就是OAS。 舉個例子，假設市場價格是＄102.00，利用國債收益曲線計算出的價格為＄103.27。 作為第一步試算，我們可以選擇平等漂移到國債零息票曲線的平行漂移量為60個點。假 設這個漂移量給出該金融工具價格為＄101.20。這低于＄102.00的價格，意味著在0和6 0點之間的某個平行漂移量將使得模型所計算的價格等于市場價格。自然我們利用線性插 值計算得： [pic] 即36.81點，將它作為下一次試算的漂移量。假設這個漂移量給出的價格為＄101.95 。這說明OAS比36.81點要稍微小一些。線性插值給出的下一次試算的漂移量為： [pic] 即35.41點；如此等等。 二、布萊克（Black）模型與利率期權的定價 自從1973年布萊克－舒爾斯（Black- Scholes）期權公式首次公布以來，該公式已成為非常流行的工具。正如在第十三章所述 ，該模型經(jīng)過擴展之后，可為貨幣期權、指數(shù)期權以及期貨期權估值。交易員已經(jīng)非常 習慣于支撐該模型的對數(shù)正態(tài)分布假設和用來描述不確定性的波動率測度。為了將該模 型運用于利率衍生證券的定價，人們做了各種擴展。 在利率衍生證券領域應用最廣泛的布萊克－舒爾斯擴展模型是發(fā)表于1976年的Black 模型，起初開發(fā)該模型是為了給商品期貨期權進行估值。該模型擴展后為范圍廣泛的歐 式期權估值提供了一個靈活的框架。我們還將給出一些例子說明Black模型如何應用于利 率期權的定價。 （一）運用Black模型為歐式期權定價 考慮一個基于變量V的歐式看漲期權，假設利率是非隨機變量并定義： [pic]：期權到期日 [pic]：在期限為T的合約中的V的未來價格 [pic]：期權的執(zhí)行價格 [pic]：期限為T的零息票收益 [pic]：[pic]的波動率 [pic]：在時刻T時V的價值 [pic]：在時刻T時F的價值 在時刻T，期權的盈利狀態(tài)是[pic]，由于[pic]，因此我們可認為在T時刻的期權盈利 狀態(tài)為[pic]，Black模型給出0時刻歐式看漲期權的價值c為： [pic] （14.1） 其中 [pic] [pic] 相應的歐式看跌期權的價值p為： [pic] （14.2） （二）Black模型的擴展 Black模型假設F的波動率為常數(shù)，我們可以稍微放松這個假設。由于我們是為歐式期 權進行估值，我們并不關心時刻T之前的V值或F值。我們僅只是要求在T時刻V服從對數(shù)正 態(tài)分布。由于F是[pic]在風險中性世界中的期望值，我們能夠利用風險中性估值方法推 導出方程式（14.1）和（14.2）的充分條件如下： 1．[pic]的概率分布是對數(shù)正態(tài)分布； 2．ln[pic]的標準偏差是[pic]； 3．利率是非隨機變量。 當利率是非隨機變量時，期貨價格和遠期價格是相同的。因此，對T時刻到期的某個 合約而言，變量F可定義為V的遠期價格。 總之，只要假設利率是非隨機變量，期權到期時標的變量服從對數(shù)正態(tài)分布，任何時 候我們都可以利用方程式（14.1）和（14.2）為歐式期權估值。在方程式中的變量F可定 義為T時刻到期的某個合約中的標的變量的遠期價格。 由于我們并沒有假設V和F的變化遵循幾何布朗運動，那么定義變量[pic]為波動率并 不嚴格?，F(xiàn)實中，它不過是一個具有如下特性的變量，即[pic]是[pic]的標準偏差。為 了強調(diào)這一點，我們定義[pic]為T時刻V的波動率測度（Volatility Measure）。 進一步擴展Black模型，我們可允許給出盈利的時刻不是T時刻，例如假設從T時刻的 變量V的值計算出期權的盈利，但是該盈利延遲到[pic]時刻，其中[pic]。在這種情況下 ，有必要從時刻[pic]而不是從時刻T貼現(xiàn)該盈利。我們定義[pic]為到期日為[pic]的零 息票收益率，于是方程式（14.1）和（14.2）變?yōu)椋?[pic] （14.3） [pic] （14.4） 其中 [pic] [pic] （三）適用的利率 人們廣泛使用（14.1）到（14.4）為利率期權估值。變量V可以是利率、債券價格、 或兩個利率之間的價差。變量F等于V的遠期價格。用于貼現(xiàn)的變量[pic]和[pic]是從計 算出來的零息票收益率。 當Black模型按這種方式運用時，出現(xiàn)了兩種近似情況： 1．假設V的遠期價格等于它的期貨價格，因此等于[pic]在風險中性世界中的期望值 ，但是，當利率是隨機變量時，遠期價格和期貨價格并不相等。 2．即使計算期權盈利時刻這些利率假設為隨機變量，也假設用來貼現(xiàn)的這些利率為 常數(shù)。 如果這些情況發(fā)生了的話，這兩個近似具有相互抵消的效應。因此，在為歐式利率期 權估值時，Black模型比所期望的具有更強的理論基礎。 （四...
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